Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

sin ⁡ ( x 2 ) = ± 1 − cos ⁡ ( x ) 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}} cos ⁡ ( x 2 ) = ± 1 + cos ⁡ ( x ) 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}}

Dẫn đến:

tan ⁡ ( x 2 ) = sin ⁡ ( x / 2 ) cos ⁡ ( x / 2 ) = ± 1 − cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x . ( 1 ) {\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad (1)}

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

tan ⁡ ( x 2 ) = ± ( 1 − cos ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x ) = ± 1 − cos 2 ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x ) 2 {\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1+\cos x) \over (1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos ^{2}x \over (1+\cos x)^{2}}}} = sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x . {\displaystyle ={\sin x \over 1+\cos x}.}

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

tan ⁡ ( x 2 ) = ± ( 1 − cos ⁡ x ) ( 1 − cos ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x ) ( 1 − cos ⁡ x ) = ± ( 1 − cos ⁡ x ) 2 ( 1 − cos 2 ⁡ x ) {\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1-\cos x) \over (1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)^{2} \over (1-\cos ^{2}x)}}} = 1 − cos ⁡ x sin ⁡ x . {\displaystyle ={1-\cos x \over \sin x}.}

Suy ra:

tan ⁡ ( x 2 ) = sin ⁡ ( x ) 1 + cos ⁡ ( x ) = 1 − cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( x ) . {\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.}

Nếu

t = tan ⁡ ( x 2 ) , {\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),}

thì:

sin ⁡ ( x ) = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}}

and

cos ⁡ ( x ) = 1 − t 2 1 + t 2 {\displaystyle \cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}

and

e i x = 1 + i t 1 − i t . {\displaystyle e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.}

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dàng.